Определение несущей способности деревянной балки

Наиболее ответственной конструкцией при проектировании и строительстве деревянного дома является перекрытие, которое опирается на стены, локальные вертикальные опоры и работает на изгиб в пределах одного этажа. Расчёт деревянного перекрытия сводится к определению габаритов поперечного сечения балок, поверх которых устраивается конструкция пола вышележащего этажа, и шага между ними.

После определения данных геометрических параметров проводится проверка прочности по двум группам предельных состояний.

Виды нагрузок

Деревянные перекрытия, как и любые другие пролётные конструкции, воспринимают полезные нагрузки, вызывающие внутренние усилия в горизонтальных несущих элементах. Все загружения, прикладываемые к данным конструктивным элементам, делятся на следующие виды:

1. Постоянные нагрузки, которые прикладываются единожды и не изменяются на протяжении всего срока эксплуатации объекта. В деревянных конструкциях постоянные нагрузки разделяются наследующие подвиды:
2. Масса вышележащей конструкции пола, полученная методом послойного суммирования каждого элемента пирога.
3. Вес вышележащих перегородок и других ограждающих конструкций, при условии, что вертикальные оси данных элементов смещены относительно несущих опор перекрытия.

4. Нагрузка принимается из нормативных значений СНиП, как равномерно распределённая по площади каждой функциональной зоны.

5. Особые штамповые, линейные или точечные нагрузки – прикладываются локально в местах, где необходимо усиленное перекрытие. Например, вес ванны с водой в санузле.

Все указанные нагрузки суммируются и прикладываются к несущим балкам в виде равномерно распределённого по её длине загружения, что и служит основанием для расчёта прочности.

Прочность древесины на растяжение

Прочность древесины при растяжении вдоль волокон колеблется в пределах 1100 – 1400 кгс/см2, правда использование ее в деталях, работающих на растяжение затруднено в связи с тем, что она не выдерживает нагрузок в местах крепления. В этих местах на древесину действуют силы сжатия и скалывания, а они имеют более низкие значения. Ярким примером использования древесины с работой на растяжение являются оглобли в конных повозках.

В поперечном направлении прочность на растяжение низкая и ее значение не превышает 5% от предела прочности на растяжение в продольном направлении. Поэтому в тех случаях, когда деталь из древесины работает на растяжение, применяют только древесину с продольным расположением волокон.

Величина поперечной прочности древесины на растяжение учитывается при резке и сушке материала, режимы этих операций подбираются в прямой зависимости от прочности.

Требования к ним

Все деревянные конструкции классифицируются по свойствам породы древесины, из которой они выполнены. Так как каждый материал имеет разные показатели плотности, массы, природной прочности волокон в радиальном или тангенциальном направлении, то и прочностные характеристики у них сильно рознятся:

1. Лиственница – твёрдая хвойная порода:
2. растяжение – 125,0 МПа;
3. скалывание – 9.4 – 9,9 МПа;
4. изгиб – 111,5 МПа.
5. Дуб – твёрдая лиственная порода:
6. растяжение – 128,8 МПа;
7. скалывание – 10.2 – 12,2 МПа;
8. изгиб – 107,5 МПа.
9. Сосна – мягкая хвойная порода:
10. растяжение – 103,5 МПа;
11. скалывание – 7.3 – 7,5 МПа;
12. изгиб – 79,3 МПа.
13. Берёза – мягкая лиственная порода:
14. растяжение – 128,8 МПа;
15. скалывание – 10.2 – 12,2 МПа;
16. изгиб – 107,5 МПа.
17. Клеёный брус из сосны – составная конструкция повышенной прочности:
18. растяжение – 118,6 МПа;
19. скалывание – 14.9 МПа;
20. изгиб – 101,5 МПа.

В данном списке 1 МПа = 1 Н/мм2.

Имея под рукой данные табличные показатели прочности древесины разных сортов, можно без труда проверить корректность подбора сечения балки или шага элементов в перекрытии.

Испытание механических свойств древесины на сжатие

Прочность на сжатие проверяют в продольном и поперечном по отношению к волокнам направлению. При этом при продольном сжатии происходит уменьшение длины образца. При испытании образца древесины мягких сортов с высокой влажностью торцы начинают сминаться, а боковые части выпирают в сторону. Древесина твердая и сухая при продольном сжатии начинает разрушаться и части образца сдвигаются в разные стороны.

Усредненное значение предела прочности продольного сжатия для всех видов древесины около 500 кгс на 1 кв. см.

Величина прочности при поперечном сжатии намного меньше, чем при продольном и их соотношение друг к другу составляет 1:8. Момент, в который происходит разрушение древесины при поперечном сжатии не легко определить, как и силу давления, при которой оно происходит.

Обычно проверяют прочность на поперечное сжатие в двух направлениях – радиальном и тангенциальном. При этом лиственные породы имеют прочность в 1.5 раза больше при сжатии в радиальном направлении, нежели при тангенциальном. Прочность древесины хвойных пород при сжатии в радиальном направлении ниже, чем при тангенциальном сжатии.

Испытание механических свойств древесины на сжатие: а — вдоль волокон; б — поперек волокон — радиально; в — поперек волокон — тангенциально.

Пример сбора нагрузок

Если необходимо собрать постоянные и эксплуатационные нагрузки на несущие балки перекрытия, нужно знать все геометрические характеристики помещения, материал полов, функциональное назначение здания и породу древесины несущего элемента.

Например, требуется рассчитать нагрузки на сосновые балки перекрытия стандартного деревянного дома с габаритами 6 x 6 м, сечение балки – брус 200 x 100 мм, шаг 900 мм. Алгоритм данного действия выглядит следующим образом:

• Собственный вес каждой балки (m1) составит V (объём конструкции, или произведение всех 3 её линейных габаритов) x r (плотность сосны). То есть, m1 = 0,2 м x 0,1 м x 6 м x 500 кг/м3 = 60 кг, или 10 кг на 1 м. п.
• Нормативная равномерно распределённая эксплуатационная нагрузка для жилых зданий составляет m3 = 150 кг/м2. То есть, данная нагрузка на балку составит F1 = m3 x S1 = 150 кг/м2 x 5,4 м2 = 810 кг, или 135 кг на 1 м. п.
• Суммарная нагрузка, приходящаяся на 1 балку перекрытия, определяется как F = m1 + m2 + F1 = 60 кг + 135 кг + 810 кг = 1005 кг, или 167,5 кг на 1 м. п.

Учитывая, что любая конструкция должны быть подобрана с небольшим запасом прочности, СНиП требует преобразования нормативной величины в расчётную.

Так, по табличным значениям можно определить, что коэффициент запаса по нагрузке от собственного веса конструкций составляет gn = 1.1, а для временного загружения – 1,4. То есть, конечное значение составит q = (m1 + m2) x 1,1 + F1 x 1,4 = (60 кг + 135 кг) x 1,1 + 810 кг x 1,4 = 1348,5 кг, или 224,75 кг на 1 м. п. (2,2475 Н/мм2).

Высчитываем на прочность

После сбора нагрузок на балки перекрытия, необходимо проверить правильность выбранного сечения материала. Для этого потребуется провести несложный расчёт в соответствии со следующим алгоритмом:

Основная формула проверки прочности подобранного сечения по предельному состоянию 1 группы регламентируется СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции» и выглядит как:

M / Wрасч < RИ, где:

• M – значение изгибающего момента от приложенной расчётной нагрузки.
• Wрасч – предел прочности заданного сечения, при достижении которого наступит разрушение конструкции.
• RИ – расчётное сопротивление древесины на изгиб.

Изгибающий момент М в стандартной балке, шарнирно опёртой по двум концам, вычисляется из элементарной формулы сопромата:

M = ql2 / 8, где:

q – суммарная расчётная нагрузка на элемент.

В данном примере составляет 224,75 кг/м, а l – пролёт, который перекрывает балка – 6 м.

M = 224,75 кг/м x 62 / 8 = 1011,375 кг*м, или 10113750 Н*мм.

Расчётное сопротивление древесины RИ представляет собой произведение нормативного показателя данной величины, приведённой выше, с учётом ряда коэффициентов надёжности.

RИ = Rn x MДЛ x MВ x MТ x MСС, где:

• MДЛ = 0,6 – коэффициент, учитывающий работу конструкции.
• MВ = 0,9 – характеризует естественную среду эксплуатации.
• MТ = 0,85 – показатель комнатной температуры.
• MСС = 0,9 – коэффициент, учитывающий срок службы сооружения не менее 75 лет.

Следовательно, при Rn для сосны 79,3 МПа (Н/мм2),

RИ = 79,3 x 0,6 x 0,9 x 0.86 x 0,9 = 32,76 Н/мм2.

Из формулы условия прочности M / Wрасч < RИ, при известных значениях М и RИ, легко вывести Wрасч = M / RИ, то есть

Wрасч = 10113750 Н*мм / 32,76 Н/мм2 = 308723 мм3.

Далее, исходя из известных параметров поперечного сечения деревянной балки b и h, которые оставляют 100 мм и 200 мм, соответственно, можно найти величину момента сопротивления фактического сечения по формуле: W = bh2/6 = 100 x 2002 / 6 = 666667 мм3.

При сравнении этих двух величин, видно, что показатель фактического момента сопротивления сечения почти в 2 раза превышает минимально допустимый параметр, и балка выдержит все приложенные к ней нагрузки, с учётом понижающих коэффициентов.

Если расчётный показатель оказался меньше, необходимо назначить новые габариты сечения и повторно проверить их с учётом приведённых выше формул.

Видео о расчете сечения балок деревянного перекрытия:

Определение несущей способности деревянной балки

Примечательно, что после появления статьи «Расчет деревянного перекрытия» первый же вопрос, который мне задал пользователь, касался именно такого расчета. Тогда я не обратил на это внимания, просто привел алгоритм обратного расчета. Но со временем подобных вопросов становится все больше и больше и задают их чуть ли не каждый день, даже не заглядывая в комментарии. В связи с этим я вынес подобные вопросы в отдельную статью (которую вы сейчас и читаете).

11-11-2012: Евгений

Помогите расчитать: брус перекрытия деревянный, сечение 75×150 мм., пролет 3 м, расстояние между брусами 0.7 м, какую нагрузку выдержит перекрытие?

11-11-2012: Доктор Лом

Алгоритм расчета в Вашем случае следующий:

1. Момент сопротивления для бруса высотой h=15 см и шириной b=7.5 см составляет:

W = bh2/6 = 7.5х152/6 = 281.25 см3

2. Максимальный изгибающий момент, который может выдержать такой брус (балка на шарнирных опорах) составляет (для древесины второго сорта):

M = WR = 281.25х130 = 36562.5 кгсм или 365.625 кгм.

3. При пролете 3 м максимальная распределенная нагрузка на погонный метр составляет:

q = 8M/l2 = 325 кг/м.

4. При шаге балок 0.7 м максимальная распределенная нагрузка на квадратный метр составляет:

q = 325/0.7 = 464.3 кг/м2 (сюда входит и вес балок).

Если нужно определить максимальную сосредоточенную нагрузку или несколько сосредоточенных нагрузок, то для расчета нужно знать расчетную схему, примеры можете посмотреть в статье: «Расчетные схемы для балок».

Все нижеследующие комментарии являются вариациями приведенного выше расчета.

11-04-2013: Надежда

Здравствуйте! помогите рассчитать нагрузку на 1м2, которую выдержит деревянный настил на стеллаже. Доска толщиной 40 мм. Спасибо.

11-04-2013: Доктор Лом

Для этого как минимум нужно знать расчетную длину и вид закрепления на опорах, а еще и характер нагрузки.

19-08-2013: Ольга

подскажите, строители уже положили балки межэтажного перекрытия 100*150 на ребро. пролет 4,08м расстояние между балками 0,58 м. выдержат ли они нагрузку? или надо предпринять какие-то меры укрепления? спасибо

19-08-2013: Доктор Лом

Все зависит от нагрузки, если нагрузка стандартная, то ничего укреплять не нужно.

19-08-2013: Ольга

спасибо

стандартная нагрузка, это в районе 400 кг/м ?

скажите, если при этом на 2 этаже предусмотрена ванная (сама ванна не чугунная, наверно акриловый вариант) и предполагается бетонная стяжка поверх балок в данной части помещения, это нормально для таких балок?

19-08-2013: Доктор Лом

Да, стандартная нагрузка 400 кг/м, но одна только бетонная стяжка может дать до 200 кг/м при толщине около 10 см. Уложится ли все остальное в 200 кг, решайте сами.

22-11-2013: Женек

Здравствуйте, Доктор Лом! Подскажите пожалуйста, насколько серьезными оказались ошибки при возведении деревянного перекрытия между этажами в доме. Дом из газобетона, длина пролета 5,5 м, шаг балок 65 см, балки из сосны — 150 на 100 мм. Как можно исправить ошибку?

22-11-2013: Доктор Лом

Тут все зависит от того, какие нагрузки на перекрытие у вас будут. Ваше перекрытие может выдержать до 200 кг/м^2. А исправить это можно только заменой балок на более мощные или увеличением количества балок.

10-12-2013: Евгений

Здравствуйте, подскажите пожалуйсто в пролете 5.3м установленны балки перекрытия 50на150 с шагом 59см как возможно их усилить что бы второй этаж использовать как жилой.

10-12-2013: Доктор Лом

Тут все зависит от максимальной нагрузки на перекрытие. При относительно небольших нагрузках можно добавить балки такого же сечения и сплотить их с имеющимися. При больших нагрузках потребуются балки большего сечения.

10-12-2013: Евгений

Нагрузка будет не очень что бы т.к. будет либо детская комната либо спальня.Если сростить ещё 50на150 через болты будет достаточно,и ещё вопрос не будет ли пол сильно гулять под ногами?

10-12-2013: Доктор Лом

Да, соединения болтами будет достаточно, если покрытие будет крепиться как к старой так и к новой балке.

Прогиб при ходьбе будет зависеть не только от пролета и веса человека, но и от конструкции перекрытия. Более подробно особенности расчета деформации пола при ходьбе изложены в статье «Прогиб пола при ходьбе». А тут лишь скажу, что если этот критерий для вас очень важен, то скорее всего перекрытие придется усиливать балками 100х150 мм.

10-12-2013: Евгений

Спасибо!

28-02-2014: Лилия

Здравствуйте! Меня беспокоит надежность деревянного перекрытия… Работы уже выполнены,но закрадываются сомнения,т.к. плотники почему-то на пол положили 9 лаг 100*200*5000, с шагом 600мм,а на перекрытие всего 5 с шагом в 1000мм.,хотя пирог и там,и там один и тот же.(обрешетка доской 100-150*22, пароизоляция,утеплитель 150, доска 200*40*5300) Боюсь,потолок не выдержит…((( Доски сырые еще к тому же,а значит тяжелее…Размеры помещения 4,95*5,3, балки значит примерно длиной 5м,сечение 100*200, шаг 1000 мм.К тому же в одном углу перекрытия предусмотрен проем под лестницу разм.2*2,6м.Поэтому получается,что нагрузка от собственного веса досок на одной половине лаг больше,чем на другой (длина досок 5,3*2,33 и 3,1*2,6- ширина настила.) Нам теперь перекрытие разбирать и усиливать дополнительно балками или все-таки конструкция надежная и выстоит? Могу прислать эскиз потолка,показать графически размеры и месторасположение проема.( в углу)

28-02-2014: Доктор Лом

Если помещение над комнатой будет неэксплуатируемым (например, чердак), то подобное уменьшение несущей способности (увеличение шага балок) допустимо. А вот выдержит ли нагрузку балка возле проема, зависит от конструкции лестницы.

14-10-2014: Ирина

Помогите, пожалуйста, рассчитать нагрузку на пол, лаги из лиственницы длина 3,3 метра лежат с интервалом 800 мм.Размер лаг 100*120мм. Размер помещения 3,3*2,2. Заранее спасибо.

14-10-2014: Доктор Лом

Никаких проблем с расчетом не вижу, просто умножьте расчетное сопротивление древесины на 1.2. Все остальное рассчитывается также, как в данной статье (если так, на глаз, то вроде бы сечения достаточно, но более точный ответ даст расчет).

16-10-2014: Ирина

Поправьте меня, если я где-нибудь, уйду не туда. Расчет будет выглядеть так:Алгоритм расчета в Вашем случае следующий (как правильно пишутся формулы, смотрите в статье):

1. Момент сопротивления для бруса высотой h=12 см и шириной b=10 см составляет:

W = 10х12х12/6 = 240 см3

2. Максимальный изгибающий момент:

M = WxR = 240х156 = 37440 кгсм или 374.4 кгм.

3. При пролете 3,3 м максимальная распределенная нагрузка на погонный метр составляет:

q = 8M/(3,3×3,3)= 275 кг/м.

4. При шаге балок 0.8 м максимальная распределенная нагрузка на квадратный метр составляет:

q = 275/0.8 = 343,75 кг/м2.

Или я что-то упустила?

16-10-2014: Доктор Лом

Нет, Ирина, вы ничего не упустили и все достаточно точно рассчитали, даже и с запасом. Например, если у вас лиственница первого сорта, то и расчетное сопротивление будет больше. Единственная небольшая ошибка: в п.3 вы определили нагрузку на погонный метр при шаге балок 1 м, а в п.4 привели эту нагрузку к погонному метру при вашем шаге балок, но в принципе вы правы, это действительно будет нагрузка на квадратный метр, которую будет выдерживать перекрытие.

Так что зря вы на себя наговаривали, вы все прекрасно можете посчитать.

Как рассчитать на прогиб?

Если балки перекрытия удовлетворяют критериям прочности, это ещё не значит, что конструкцию можно эксплуатировать. Помимо 1 существует также 2 группа предельных состояний, и перекрытие должно удовлетворять требованиям допустимых деформаций под действием нагрузки, с учётом внутреннего сопротивления несущих элементов. Данный расчёт на прогиб выполняется следующим образом:

В соответствии с таблицей СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия», предельно допустимый по эстетико-психологическим соображениям прогиб fult балки при пролёте l = 6 м должен составлять не более fult = 1/200, или 6000 мм / 200 = 30 мм.

Фактическая деформация изгибаемого деревянного элемента определяется по формуле:

f = 5ql4/384ЕI, где:

• Е – модуль упругости древесины, который определяется из табличных значений и составляет 12600 МПа (Н/мм2).
• I – момент инерции, зависящий от геометрии сечения.

I для прямоугольно балки составляет bh3/12 = 100 x 2003 / 12 = 66666667 мм4.

Таким образом, расчётный прогиб составит:

f = (5 x 2,2475 x 60004) / (384 x 12600 x 66666667) = 45,15 мм.

Расчёт показал, что балка заданного сечения не удовлетворяет условию предельно допустимой деформации, и габариты придётся увеличить.

Принимая в расчёт новое сечение 150 x 250 мм, расчёт проводится заново:

I = 150 x 2503 / 12 = 195312500 мм4.

f = (5 x 2,2475 x 60004) / (384 x 12600 x 195312500) = 15,41 мм.

Из полученного расчёта видно, что прямоугольная балка из сосны с габаритами поперечного сечения 150 x 250 мм полностью удовлетворяет условиям предельного прогиба. Повторный расчёт прочности не имеет смысла, так как с увеличением размеров сечений растёт коэффициент надёжности.

Возможные ошибки при вычислении

Инженеры, не имеющие достаточного опыта в расчёте деревянных конструкций, нередко допускают грубые ошибки, а именно:

• Неверное соотношение единиц измерения влечёт за собой значительные отклонения от верного результата расчёта.

• Пренебрежения расчётом по 2 группе предельных состояний может вызвать слишком сильный прогиб уже смонтированной конструкции.
• Неверный сбор нагрузок окажется далёк от истинного показателя.
• Пренебрежение коэффициентами запаса прочности могут также повлечь за собой ошибочный результат.

Результатом подобных ошибок могут стать непредвиденные прогибы или разрушение конструктивного элемента. В таких случаях владелец объекта недвижимости будет вынужден проводить дорогостоящее усиление перекрытий, а, при самом неблагоприятном исходе событий, могут пострадать люди.